این ‌اعداد ‌شگفت‌انگیز

 پس از چند دقیقه یکی از شاگردان کلاس گفت: مجموع این اعداد را پیدا کرده و حاصل عدد 5050 می شود. با شنیدن این عدد معلم با حیرت فراوان او را به پای تخته برد تا روش محاسبه خود را توضیح دهد.

به نظر شما این شاگرد باهوش که بعدها یکی از بزرگترین و معروف‌ترین ریاضیدانان دنیا شد، چه روشی را به کار بست؟ او اعداد یک تا صد را به ردیف پشت‌سر هم نوشت، سپس بار دیگر همین اعداد را بالعکس، این بار از صدتا یک، درست در ردیف زیرین اعداد قبلی نوشت. طوری که هر عدد زیر عدد ردیف بالاتر قرار گرفت. وی مشاهده کرد که مجموع هر کدام از ستون‌های به وجود آمده 101 است. سپس نتیجه گرفت که صد تا عدد 101 داریم که حاصل مجموع آنها می‌شود 10100=101*100 . پس از آن تنها کافی بود که این مجموع به دست آمده نصف شود یعنی: 5050=2/10100 شاید «شارل فردریک گاوس» شاگرد با ذکاوت کلاس که این روش جالب را به کاربرد، آن هنگام نمی‌دانست، روش بسیار کارا و مفیدی را برای جمع بستن رشته‌ای از اعداد ارائه داده است که تا سالیان سال مورد استفاده ریاضیدانان خواهد بود. اکثر مفاهیم ریاضی به قدری با زندگی روزمره ما گره خورده است که تمام مردم بدون آگاهی داشتن و واقف بودن به آن، از کنارش می‌گذرند و تنها کاربر خوبی هستند و بس!

حتماً تا به حال با این عبارات در رادیو، تلویزیون یا موارد مختلف دیگر برخورد کرده‌اید: «وزارت آب و یا وزارت نیرو اعلام کرده است که میزان پرداختی قبض‌ها به صورت تصاعدی بالا می‌رود و از مصرف‌کنندگان تقاضا نمود که نهایت صرفه‌جویی را درمصرف آن داشته باشند.» حتماً در بیشتر موارد نیز از این‌که هزینه مصرف آب یا برق شما بسیار گران شده است گله‌مند و شاکی بوده‌اید و بسیار تعجب کرده و یا شاید هم فکر کرده‌اید که اشتباهی رخ داده است!

اما در واقع این چنین نبوده است. بلکه این وزارتخانه‌ها و جاهای دیگر از این قبیل با به کار بردن یک مفهوم ساده ریاضی که از روابط جالب بین اعداد نشات می گیرد، تلاش نموده‌اند با این روش اندکی از مصرف سرانه انرژی‌های مفید در کشور بکاهند. بسیاری از رشته‌های اعداد در ریاضیات از قاعده و قانون خاصی پیروی می‌کنند. به این صورت که مثلا هر عدد نسبت به عدد قبلی خود به اندازه ثابتی کاهش یا افزایش می‌یابد، به این رشته از اعداد تصاعد «عددی» (حسابی) گویند. برای مثال در رشته اعداد 1، 4، 7، 10، 13 و... هر عدد نسبت به عدد قبلی خود سه واحد بیشتر است. حال رشته‌ای از اعداد را در نظر بگیرید که در آن هر عدد نسبت به عدد ماقبل خود به اندازه توان‌هایی از یک عدد ثابت افزایش یا کاهش یافته باشد. به این رشته از اعداد تصاعد «هندسی» گویند. برای مثال رشته اعداد 1، 2، 4، 8، 16 و... را در نظر بگیرید. اگر کمی دقت کنید متوجه می‌شوید که هر عدد نسبت به عدد قبلی خود، دو برابر شده است. به عبارت دیگر در این رشته از اعداد با توان‌هایی از عدد 2  و یا اعداد دیگر مواجه هستیم.

یعنی: ... و24، 3 2، 2 22120، به ترتیب از چپ به راست می‌شود ... و 16، 8، 4، 21، اگر کمی حوصله کنید و با ما همراه باشید مثال‌ها و داستان‌های جالبی از خاصیت شگفت‌آور این رشته از اعداد خواهید خواند که حتماً متعجب می‌شوید. در گذشته‌های دور، یکی از پادشاهان هندوستان به ازای یاد دادن سرگرمی خوبی به او، جایزه بزرگی تعیین کرد. می‌دانید که هندی‌ها در ابداع و اختراع روابط شگفت‌انگیز بین اعداد بسیار توانا هستند و تاریخچه بلندی در این زمینه دارند. روزی یکی از همین دانشمندان متبحر کار با اعداد، نزد پادشاه رفت و بازی شطرنج را به او آموخت. کسی چه می‌داند، شاید بازی شطرنج از همان زمان اختراع شده باشد. این مرد زیرک به ازای سرگرمی خوبی که به پادشاه آموخته بود از وی خواست تا به ازای 64 خانه شطرنج به او گندم دهد. به این ترتیب که از یک دانه گندم برای خانه اول آغاز کند و به هر خانه شطرنج که رسید تعداد دانه‌های گندم را نسبت به خانه قبل دو برابر افزایش دهد.

مثلاً برای روز چهارم پادشاه می بایست تعداد16=24 دانه گندم به مرد فاضل بدهد. مرد خردمند شرط کرد که در صورت عدم توانایی پرداخت این گندم‌ها از سوی پادشاه می باید تاج و تخت هندوستان را برای همیشه ترک کند. پادشاه نیز با کمال میل پذیرفت و در دل به بی‌خردی آن ناشناس خندید. مسلماً در روزهای اول مشکلی وجود نداشت. اما مشکل اصلی از آنجا شروع می‌شد که این اعداد به صورت شگفت‌آوری بزرگ می‌شدند. در روز دهم تعداد 1024=210 دانه گندم باید پرداخت می‌شد که تعداد زیادی نیست. اما روز بیستم تعداد قابل ملاحظه‌ای می‌شود یعنی 576/048/1=220 دانه گندم. فکر می‌کنید وقتی که به روز آخر یعنی خانه شصت و چهارم برسید چه اتفاقی بیفتد. درست حدس زده‌اید پادشاه ما به....= 264 دانه گندم نیاز دارد که این تعداد گندم با تمام دانه‌های شن و ماسه موجود بر روی زمین برابری می‌کند!

هما کبیری‌