اندیشه های بزرگ یک نابغه

خیام در دو نوبت داستان پیدایش هندسه جبری را حکایت کرده است: رساله تقسیم ربع دایره و در رساله جبر. بنا به گفته او از یونانیان ، چیزی درباره این به دست ما نرسیده است. پیشینیان او برخی از مسائل مجسم را به زبان جبری ترجمه کرده اند و سپس با استفاده از مقاطع مخروطی به حل آنها پرداخته اند. خیام خود می خواهد نظریه ای درباره معادلاتی که درجه آنها سه یا کمتر از سه است را فراهم کند و نظریه معادلات درجه اول و دوم را طوری گسترش دهد که معادلات درجه سوم را هم شامل شود، اما در اینجا خیام با مانعی روبه رو می شود که مانع مبارکی است ، از این جهت که بعدها کاربردهای فراگیری پیدا می کند. در اوایل قرن نهم هجری قمری ، خوارزمی برای معادلات درجه دوم راه حلی با استفاده از رادیکال ها به دست داده و آن را از طریق هندسی توجیه کرده بود. در نیمه دوم همان قرن ، ثابت بن قره ، این راه حل را به صورت کامل به زبان هندسه ترجمه کرده است ، اما هنوز راه حل معادلات درجه سوم با استفاده از رادیکال ها شناخته نبود. این مانع بزرگ خیام را ناگریز می کند که در شرایط امکان برنامه خوارزمی که می توان گفت الگوی اوست ، دست ببرد و شرایط تازه ای بر آن بیفزاید.
پروردن نظریه ای برای معادلات درجه سه یا کمتر از سه مستلزم آن بود که خیام اصطلاحات اصلی ای را که از پیشینیان جبردان او به وی رسیده بود تقویت کند تا بتواند همه معادلات را حل و یک حساب هندسی بنا کند که قادر به حل این معادلات باشد. خوارزمی و شاگردانش اصطلاحا به مجهول ، شی ، به مربع آن ، مال و توان های بالاتر را مال مال و... می گفتند. در این مرتبه لازم نبود خیام چیزی از خود بیفزاید. مساله ای که او با آن مواجه بود، این بود که چگونه به برخی از این اصطلاحات یک معنای هندسی ، خواه در صفحه و خواه در فضا بدهد. مفهوم بنیادی ای که این کار را ممکن می کند و خیام هم بر آن تاکید می نماید، مفهوم واحد اندازه گیری است.
زیرا اگر این مفهوم را به صورت مناسب و مرتبط با مفهوم بعد تعریف می کرد، می توانست هندسه را در جبر به کار برد و در نتیجه نخستین نظریه هندسی را برای حل معادلات بنا کند. این مفهوم واحد اندازه گیری که با مفهوم بعد پیوند دارد، در آثار اسلاف خیام در جاهایی که به حساب هندسی می پردازد، وجود دارد. جانشین خیام یعنی شرف الدین توسی ، این اندیشه خیام را بسط و گسترش داده است.
با در دست داشتن این مفاهیم ، خیام بیست و پنج معادله ای را که از ترکیب چهار اصطلاح بنیادی عدد، مجهول (شی ء)، مربع آن (مال) و مکعب آن (کعب) - به دست می آید، طبقه بندی می کند. نخستین طبقه بندی در رساله او درباره تقسیم ربع دایره دیده می شود. وی با طبقه بندی متعارف معادلات درجه اول و دوم آغاز می کند و معادلاتی را که با وارد کردن مکعب به دست می آید بر آنها می افزاید.
به این ترتیب شش معادله متعارف خوارزمی به دست می آید. این معادلات را به کمک مقاله دوم اصول اقلیدس می توان حل کرد. سپس خیام مکعب را وارد کار می کند و چیزی که به دست می آورد، 3 معادله دو جمله ای ، 9 معادله سه جمله ای و 7 معادله چهار جمله ای بود.
اما در رساله جبر این طبقه بندی را تغییر می دهد و طبقه بندی دیگری اختیار می کند که پایه آن بر تعداد جمله هاست. به این طریق 6 معادله دو جمله ای ، 12 معادله سه جمله ای و 7 معادله چهار جمله ای به دست می آید. خود معادلات درجه سوم را خیام بر اساس نحوه تقسیم جملات متناظر با توان های مختلف در دو طرف معادله ، یعنی بر اساس علامت ضریب ها طبقه بندی می کند. دو مقطع مخروطی ای که در حل این معادلات به کار می آیند درست بر پایه این طبقه بندی انتخاب می شوند.

خیام و دکارت

پروفسور رشدی راشد - مورخ و فیلسوف بزرگ مصری - خیام و دکارت را با هم مقایسه می کند. چرا که خیام نخستین کسی است که در تاریخ ، نظریه ای هندسی درباره حل معادلات درجه سه و کمتر را بیان می کند و دکارت هم فعالیت های عمده ای در زمینه هندسه انجام داده است.

تکه ای از پیشگفتار جبر و مقابله خیام وقتی خیام نخواست یا نتوانست کتاب جبر خود را آشکار کند، بعد از سلطه سلجوقیان ، به قراخانیان در ماوراءالنهر پناه برد تا از حمایت امام ابوطاهر، قاضی القضات سمرقند برخوردار شود و در آنجا بود که کتاب جبر خود را به پایان برد. «...دچار زمانه ای شده ام که اهل دانش از کار افتاده و جز اندکی که از مرگ جان به در برده اند، کسی نمانده که از فرصت برای بحث و پژوهش های علمی استفاده کند. برعکس ، حکیم نمایان جامعه ما همه دست اندرکارند که حق را با باطل بیامیزند... من دیگر ناامید شده بودم از دست یافتن به شخصی که به فضیلت های علمی و عملی آراسته باشد، هم به کارهای علمی دنیا توجه کند و در عین حال خیرخواه مردم باشد تا این که خدا دیدار با ابو طاهر را نصیبم کرد... در نتیجه نزدیک شدن به مقام او وظیفه خود دیدم آنچه را در چکیده مساله حکمت ، مطالعه و تحقیق نموده ام به کوتاهی بیان کنم و این کار را با نام بردن گونه های جمله های جبری آغاز کردم ؛ چرا که ریاضیات به پیشگامی سزاوارتر است ...»

هندسه دکارت از یک سو تکمیل سنتی است که خیام و شرف الدین توسی برپا کرده اند و از سوی دیگر این توفیق دکارت ، نقطه آغاز یک سنت دیگر است که هر چند سرچشمه اش در کتاب دکارت است ، اما پی ریزی واقعی آن در آثار پیشینیان او صورت می گیرد. رشدی راشد دراین باره می گوید: این که دکارت ، غیر مستقیم این سنت خیامی را می شناخته یا نه ، چیزی نیست که من به آن علاقه داشته باشم ، بلکه کار من تنها تحلیل برنامه های ریاضی دانان و نحوه تحقق آنهاست.
همچنین قابل درک است که من نمی توانم همه وجوه هندسه دکارت را شرح دهم یا در عمق همه لایه هایی که در این کتاب روی هم قرار گرفته اند نفوذ کنم . بنابراین تنها به دو محور تبدیل هر مساله هندسی به یک معادله جبری یک مجهولی و حل این معادله از راه ترسیم ریشه های آن به کمک تقاطع دو مقطع مخروطی که حتی الامکان یکی از آنها دایره است ، توجه می کنم.
دکارت گاهی گله می کند که کتاب هندسه اش قربانی بد فهمی شده است. آیا باید شکایت را به پای خلق و خوی او نوشت یا به حساسیت مولف گذاشت ، یا باید گفت که دکارت این کار را می کند تا فاصله خود را با ویت -جبردان فرانسوی - نشان دهد.

نظریه هندسی معادلات جبری ؛ تکمیل برنامه خیام

موضوع یکی از نخستین کارهای ریاضی دکارت نظریه معادلات جبری است ، یعنی حل برخی از معادلات درجه سوم به کمک هندسه. در سال 1619 دکارت طبقه بندی ای را برای این معادلات پیشنهاد می کند و برخی از آنها را به کمک پرگار خود حل می کند و نیز مساله ای را بررسی می کند که به یک معادله درجه سوم منتهی می شود. دکارت نیز مانند خیام می پذیرد که هر مساله مسطح ، آخر سر به یک (یا چند) معادله درجه دوم منتهی می شود که ریشه های آنها را می توان به کمک خواص دایره و خط مستقیم ترسیم کرد، اما برخلاف خیام که مسائل مجسم را از مسائل فرا مجسم متمایز می کند و می گوید که ریشه های معادلات درجه سومی را که متناظر با مسائل مسطح هستند به کمک خواص مقاطع مخروطی می توان تبیین کرد و نیز چنانکه ابن هیثم در قرن پنجم نشان داده بود، می توان ریشه های یک معادله درجه پنجم را از روی خواص یک خم درجه سوم و یک مقطع مخروطی به دست آورد، دکارت در این مرحله هنوز به ذکر هیچ نوع تمایزی نمی پردازد و فقط از مجموع خم هایی که بعدها خم هندسی نامیده شدند، یاد می کند.
در مقابل ، خیام جز از مقاطع مخروطی و تلویحا از یک خم درجه سوم ، از هیچ خم دیگری سخن نمی گوید. خلاصه این که در سال 1619 دکارت هنوز بر همان زمین گام می زند که خیام ، کلیت نتایج ریاضی ای که به دست می آورد کمتر از اوست و با این حال برنامه ای که در سر دارد کلی تر و بر این برنامه طبقه ای از خم ها حاکم اند و همه خم هایی را که هندسه جبری به آن می پردازد در بر می گیرد. این علاقه جدید او را وامی دارد که مفهوم خم هندسی و بررسی آن را هر چه بیشتر ترجیح بدهد، اما پیش از آنکه به این مرحله برسد، دستاوردهای دیگری لازم بود تا این اندیشه بنیادی قابلیت های خود را ظاهر کند و به یک اندیشه بارور تبدیل شود.

هما کبیری