عجیب اما واقعی
بینهایت را مرزی نیست
اگرچه پیش از این گفته میشد که بینهایت براساس یک مبنای محاسباتی، جسم واحدی است، اما امروزه ریاضیدانان به شواهد جدیدی مبنی بر امکان طبقهبندی آنچه از آن به عنوان بینهایت نام برده میشود، دست یافتهاند که میتواند دیدگاه ما نسبت به بینهایت و تعریف آن را تحت تاثیر خود قرار دهد. همان طور که میدانید پیش از این تصور میشد که آنچه به عنوان بینهایت در نظر گرفته میشود، بینهایت مطلق است و هیچ مرز و محدودهای فراتر از آن وجود نخواهد داشت.
این در حالی است که براساس قوانین ریاضی این فرضیه کاملا نادرست و غیرقابل قبول خواهد بود. به گفته بسیاری از محققان در حقیقت بینهایت مجموعهای است از مقادیر نامحدود که برخی از آنها از برخی دیگر بزرگتر خواهند بود. برای مثال اگر مجموعه اعداد طبیعی را که مجموعهای بیپایان و نامحدود است در نظر بگیرید، در این صورت هر مجموعهای دیگر از زیرمجموعههای اعداد طبیعی را نیز که در نظر بگیرید مجموعهای بیپایان و نامحدود خواهد بود، با این تفاوت که بزرگی هر یک از این مجموعهها با وجود نامحدود بودنشان با دیگری متفاوت خواهد بود. به عبارت دیگر میتوان گفت تعداد اعداد حقیقی بین صفر و یک بیشتر از تعداد کل مجموعه اعداد طبیعی است و در نتیجه آنچه از آن به عنوان نامتناهی بودن هر یک از این دو مجموعه نام برده میشود از نظر بزرگی و اندازه کاملا متفاوت خواهد بود. برای هر یک از اعداد طبیعی میتوان یک عدد حقیقی در محدوده بین صفر و یک در نظر گرفت و به این ترتیب هر یک از اعضای این دو مجموعه نامتناهی را به صورت یک ارتباط یک به یک در کنار هم قرار داد که بنابراین ارتباط هر عضو مجموعه اعداد طبیعی را میتوان به صورت یک زوج عددی در کنار عضوی از مجموعه اعداد حقیقی بین صفر و یک قرار داد. با توجه به آنچه گفته شد، میتوان برای تعیین اندازه نسبی دو مجموعه حتی بدون انجام شمارش محاسباتی نیز آن دو مجموعه را مورد مقایسه قرار داد. به این ترتیب که از هر یک از دو مجموعه در نظر گرفته شده همزمان عضوی را انتخاب میکنیم تا اعضای یکی از این مجموعهها به پایان برسد. در نهایت مجموعهای که هنوز اعضایی برای برگزیده شدن داشته باشد مجموعه بزرگتری خواهد بود. نتایج به دست آمده از بررسی و مقایسه نسبی بزرگی مجموعه اعداد طبیعی و مجموعه اعداد حقیقی حاکی از آن است که نامتناهی بودن اعداد حقیقی بسیار بزرگتر از نامتناهی بودن اعداد طبیعی است. پس باید پذیرفت که بینهایت جسم واحدی نیست که بتوان از آن برای نامحدود بودن بزرگی دو مجموعه مختلف استفاده کرد، بلکه در عمل بزرگی هر یک از این دو مجموعه با وجود نامتناهی و نامحدود بودن متفاوت خواهد بود و اگرچه از نظر محاسباتی تعداد اعضای هر یک از این دو مجموعه بینهایت و غیرقابل شمارش است، اما حقیقت این است که بینهایت بودن آنها با هم متفاوت است. اگرچه ممکن است این نتیجه چندان دور از ذهن به نظر نرسد، اما حقیقت این است که بسیار متعجبکننده است.
گفت و گو
