دشواری‌های ریاضیات‌

 بتدریج با بغرنج شدن زندگی، محاسبان و ریاضیدانان از کاتبان جدا شدند و صنف خاصی را تشکیل دادند، حتی برای آماده کردن نسل بعدی و انتقال دانش خود به دیگران، کلاس‌های آموزشی را اداره می‌کردند و این در واقع نقطه آغاز ریاضیات نظری به مفهوم ساده و اولیه خود بود. گرچه در این کلاس‌ها به طور کامل و بدون استثنا از مساله‌هایی استفاده می‌شد که به روشنی جنبه کاربردی داشت، ولی خود مساله‌ها کم و بیش فرضی و ساخته ذهن معلمان بود. دیگر منتظر نمی‌ماندند تا ساختن یک انبار یا تقسیم غذا بین سربازان یا تقسیم زمینی که مرزهای آن، به خاطر ریزش باران یا طغیان آب، شسته شده بود، مطرح شود، آن وقت «صاحبان دانش زمان» تلاش خود را برای حل آنها آغاز کنند، بلکه از قبل، مساله‌ها را آماده می‌کردند و راه‌حل آنها را به شاگردان خود می‌آموختند. حتی بتدریج، مساله‌هایی مطرح و حل می‌شد که به ظاهر، اندکی دور از کاربرد عملی بود. از این جمله، می‌توان از مساله‌های عکس نام برد. اگر پیش از آن،  با در دست داشتن بعدهای یک ساختمان، سطح بنا و گنجایش ساختمان را محاسبه می‌کردند، اکنون با فرض معلوم بودن سطح یا حجم و برخی بعدها، راه یافتن اندازه بعد مجهول را جستجو می‌کنند و این، در واقع، سر بر آوردن جوانه‌های نازک ریاضیات نظری بود.

در این دوره اثبات و استدلال منطقی کمتر آموزش داده می‌شد. حتی در حالت‌هایی هم که به احتمالی معلم در ذهن خود با نوعی استدلال آشنا بود آن را به شاگردان خود منتقل نمی‌کرد و شاگرد باید تنها یاد می‌گرفت که چگونه جواب مساله را به دست آورد و هیچ گونه چون و چرا نداشته باشد.

طبیعی است قانون‌های موجود که به صورت «دستور» و «فرمان» از نسلی به نسل دیگر منتقل می‌شد، نمی‌توانست دقیق و بی عیب باشد. برای محاسبه مساحت زمینی که به شکل چهار ضلعی بود، نصف مجموع دو ضلع روبه‌رو را در نصف مجموع دو ضلع روبه‌روی دیگر ضرب می‌کردند.(که تنها برای مستطیل درست است) و برای محاسبه مساحت مثلث متساوی‌الساقین نصف حاصلضرب قاعده در ساق را به دست می‌آوردند و این گرچه برای محاسبه‌های عملی آن روزگار مشکلی بوجود نمی‌آورد، درست و دقیق نبود. اعتبار هر آموزشی به اعتبار «معلم» و اعتبار هر نوشته‌ای به اعتبار نویسنده آن مربوط بود ولی زندگی راه خود را می‌رفت و روز به روز بغرنج‌تر می‌شد و در نتیجه محاسبه‌ها «استدلال»های قبلی برای حل دشواری‌های تازه کافی نبود. بتدریج اعتبار «صاحبان اعتبار» فرو ریخت و توجه به ریشه‌های استدلالی و منطقی ریاضی روزافزون شد، جوانه‌های ریاضیات نظری که در سایه قرار داشت، شکوفا شد و بتدریج ریاضیات کاربردی را در سایه خود قرار داد. انگیزه درونی ریاضیات نظری (یعنی منطق و استدلال) به عنوان عامل تعیین کننده مسیر ریاضیات به کار افتاد و انگیزه بیرونی (یعنی مشاهده و تجربه) به صورت عاملی درجه دوم در آمد.

پرویز شهریاری‌