صفر، ریاضیدان ها را سرکار گذاشته است

نگاهی به یک مشکل همیشگی درعلم ریاضیات

کد خبر: ۳۲۱۵

صفر، عددی ذاتا مشکل ساز در ریاضیات است . به محض این که ریاضیدانان تصمیم گرفتند آن را نیز عددی مانند سایر اعداد در نظر بگیرند، مجبور شدند تمامی روابط استاندارد ریاضی را برای در برگرفتن صفر بسط دهند. البته این کار، همیشه آسان و مستقیم نبوده است.آشناترین نمونه این وضعیت به توان رساندن اعداد است . مثلا فرض کنید می خواهیم عدد5 را به توان 4 برسانیم . می دانیم که :5 *5 *5 *5 =54بنابراین 50 هم باید5 " به توان صفر" باشد؛ به عبارتی ، نباید هیچ تعداد عدد5 را در هم ضرب کرد!واضح است که 50 را نمی توان به این شکل درنظر گرفت . به جای این کار، ریاضیدانان از برخی خواص اعداد تواندار که همواره ثابت هستند، استفاده می کنند. به عنوان مثال ، اگر دو عدد تواندار با پایه های یکسان را در هم ضرب کنیم ، توان ها با هم جمع میشوند.مثلا:55 =5 ) *5 *5 ( *5 ) *5 ( =53 *52برای نسبت دادن مقداری به 0 5 نیز می توان از همین روش استفاده کرد. یعنی:25 =52 =502 + =52 *50پس 5 به توان صفر ضربدر25 ، برابر با25 می شود. به این ترتیب می توان نتیجه گرفت که 5 به توان صفر برابر با یک است . به دلایلی نظیر این ، می توان استدلال کرد که هر عددی به توان صفر، برابر با یک است ؛ اما در این میان یک استثنا وجود دارد: خود صفر براساس روش فوق )و این که می دانیم هر عددی ضربدر صفر برابر صفر است(، خواهیم داشت:0 =000 *اما این بار نمی توان طرفین رابطه را بر صفر تقسیم کرد تا نتیجه گرفت که :1 =00در واقع ، این حالت را نیز باید همانند تقسیم صفر بر صفر، بی معنی در نظر گرفت.روشی مشابه این ، برای تعریف "صفر فاکتوریل " نیز به کار گرفته شده است . فاکتوریل ها، که با قرار دادن علامت تعجب در کنار یک عدد مشخص می شوند، تعریفی مشابه این حالت دارند.1 *2 *3 *4 *5 =5 !یعنی با عدد داده شده ، کار را آغاز می کنیم و قدم به قدم عدد یک را از آن کم می کنیم تا در نهایت به خود یک برسیم ، و سرانجام همه این اعداد را در هم ضرب می کنیم تا فاکتوریل داده شده به دست آید.اما این روش در مورد صفرعملی نیست ؛ چون باید پیش از آغاز، متوقف شد. تعبیر دیگری که ازان می شود، آن را به عنوان تعداد حالاتی که می توان ان شی مختلف را در کنار هم قرار داد"، بیان می کند. اما این تعبیر نیز در مورد صفر فاکتوریل کارساز نیست ؛ چون مشخص نیست که به چند حالت می توان صفر شی ء مختلف را کنار هم چید. شاید بهترین پاسخ برای این پرسش ، صفر حالت باشد؛ چون چیزی وجود ندارد که بخواهیم آن را بچینیم . اما این پاسخ برای ریاضیدانان دلچسب نیست . آنها ترجیح می دهند به جای آن ، از یک ویژگی عمومی فاکتوریلها که الگویی همانند زیر است، استفاده کنند:3 ! *4 =4 !2 ! *3 =3 !1 ! *2 2 =!و آن را برای حالت بعدی نیز گسترش دهند، یعنی:0 *1 1 = 0و از آنجا که 1 برابر با یک است ، رابطه فوق به این معناست که :1 =0 به این ترتیب ، ریاضیدانان توانستند به 0 ! نیز مقداری را نسبت دهند.